Ponderação pelo inverso da distância (e mais)

A Primeira Lei, de novo

No post anterior eu apresentei a chamada “Primeira Lei da Geografia”, de Waldo Tobler, que afirma o seguinte:

“Todas as coisas estão relacionadas entre si, mas coisas próximas são mais relacionadas que coisas distantes.”

Também demonstrei como podemos interpolar valores no espaço para mapear um determinado fenômeno espacial usando o método de triangulação.

O método da triangulação é formidável para mapear fenômenos que são mais ou menos contínuos no espaço e quando a resolução da nossa malha amostral é parecida ou superior à resolução do próprio fenômeno. O mapeamento das cotas do terreno é um clássico exemplo solucionável por triangulação.

Mas quando temos que mapear fenômenos que são anomalias e dispomos de uma resolução amostral esparsa, como é o caso do mapeamento geoquímico, o método da ponderação pelo inverso da distância também pode ser uma opção.

Um problema no espaço

Agora imagine que você está em um espaço 2D (X e Y) e precisa mapear um fenômeno quantitativo em todo uma região desse espaço. Para variar, você tem poucos pontos amostrais.

Qualquer ponto Xi e Yi dessa região estará mais ou menos próximo dos pontos amostrais. Mais perto de uns, mais distante de outros e muito distantes de outros. Se você fosse chutar um valor para esse ponto, qual seria?

O vizinho mais próximo

Segundo a Primeira Lei da Geografia, coisas mais próximas estão mais relacionadas que coisas distantes. Assim, de forma bem grosseira, um primeiro chute seria simplesmente assumir que o valor de um ponto qualquer Xi e Yi é o valor do ponto amostral mais próximo. E esse, incrivelmente, é um método de interpolação: o método do vizinho mais próximo (nearest neighbor).

No QGIS, eu criei um shapefile com uns pontos aleatórios com valores amostrados de um raster. Uma das formas disponíveis para interpolar os pontos pelo método do vizinho mais próximo é ir em GDAL/OGR >> GDAL Analysis >> Grid (Nearest Neighbor). O algoritmo é simples, basta indicar qual é o atributo do shapefile que se quer interpolar. A resolução do raster de saída é padronizada.

Polígonos de Voronoi

O método de intepolação pelo vizinho mais próximo nos conduz, sem querer, a um método gráfico de criar áreas de influência para pontos amostrais. Esse método gráfico consiste nos polígonos de Voronoi ou polígonos de Thiessen.

Isso acontece em razão das áreas de valor igual obtidas pelo método do vizinho mais próximo serem justamente as menores áreas possíveis sob influência de um ponto em uma rede de pontos. Se a resolução do raster tender a zero, teremos os polígonos.

No QGIS, esses polígonos podem ser gerados diretamente a partir do shapefile de pontos. Os atributos dos pontos são completamente transferidos para as geometrias de polígonos. Entre as formas disponíveis de realizar isso: QGIS Geoalgorithms >> Vector geometry tools >> Voronoi polygons.

Média ponderada pela distância

O método de interpolação pelo vizinho mais próximo é risivelmente simples. Mas se a Primeira Lei da Geografia é válida, podemos fazer algo mais sofisticado, mesmo com apenas 5 pontos amostrais. E se o valor em um ponto qualquer for calculado como uma média poderada pela distância dos pontos amostrais?

Média ponderada – revisão

No ensino médio aprendemos como a média poderada funciona. Para passar de ano, a média das nossas notas precisa ser superior a um valor mínimo, geralmente 6. Se a média das notas fosse a média aritmética, bastaria somar as notas e dividir pelo número total.

Mas como a média é ponderada, precisamos considerar o pesos das notas. Claro, as provas sempre tem um peso maior que os deveres de casa. Dessa forma precisamos multiplicar as notas pelos respectivos pesos, somar os produtos e dividir essa soma pela soma total de pesos. A média simples (aritmética), assim, é apenas um caso específico de média ponderada em que os pesos são todos iguais.

Interpolação IDW

Voltando ao nosso problema espacial, podemos assumir então que o valor de um ponto qualquer é uma média ponderada dos valores amostrais e os pesos dessa média tem a ver com a distância: pontos mais próximos pesam mais, pontos mais distantes pesam menos e pontos muito distantes sequer devem ser computados.

Esse racioncínio nos leva ao método da ponderação pelo inverso da distância (Inverse Distance Weighting – IDW). Esse método interpola os valores no espaço fazendo a média ponderada dentro de um raio de busca R. Os pontos amostrais existentes fora do raio de busca não são contabilizados na média.

O peso associado a um valor amostral conhecido, assim, é o inverso da distância desse ponto amostral para o ponto de investigação. Uma versão mais sofisticada desse método inclui elevar a distância entre os pontos a uma potência, o que introduz o parâmetro P na fórmula do peso W:

Wj = 1 / ( Dj(Xi, Yi) ^ P)

Onde Wj é o peso do ponto amostral j, Dj(Xi, Yi) é a distância entre o ponto amostral j e o ponto Xi, Yi; e P é a potência elevada da distância.

Se P=0, os pesos são todos iguais a 1 e então a média se transforma na média simples dos valores dentro do raio de busca, como se fosse uma média móvel no espaço 2D. Com valores inteiros de P cada vez maiores, o decaimento com a distância fica cada vez maior. Mas sem dados para calibrar o modelo de interpolação, o valor do parâmetro P é completamente arbitrário.

No No QGIS, entre os algoritmos disponíveis, temos o GDAL/OGR >> GDAL Analysis >> Grid (Inverse Distance to a power). Nesse algoritmo podemos definir a região de busca como uma elipse, definindo os raios e o ângulo. Outros pacotes, como o SAGA, oferecem mais opções, como uma região retangular ou outras fórmulas de ponderação.

 

 

 

 

 

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